Всего: 9 1–9
Добавить в вариант
Сколько существует натуральных чисел n таких, что уравнение 
имеет целочисленное решение?
Поскольку 
то 
Условие задачи выполняется, если 12 кратно n. У числа 12 шесть целочисленных делителей, это и будет ответ.
Ответ: 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Полное решение. | + | 10 |
| Приведены все основные логические шаги решения. Посчитаны целые значения n. ИЛИ Приведены все основные логические шаги решения. Ответ неверный. | +/2 | 5 |
| Ответ верный. Решение отсутствует или неверное. | ∓ | 2 |
| Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше. | −/0 | 0 |
| Максимальный балл | 10 | |
Найдите все значения параметра a, для которых уравнение
имеет корни 
и 
удовлетворяющие условию 
Ясно, что
это парабола с ветвями вверх, поэтому решением неравенства 
является интервал 
Тогда 
отсюда 
Решая неравенство, получаем ответ.
Ответ: 
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
не имеет решения.
Способ I. Рассмотрим функцию
Отсюда
отсюда 
и 
критические. При 
и
при
Сверху функция f не ограничена, она непрерывна, а наименьшее значение достигается в точке −3a: если 
то 
если же 
то 
Все значения функции должны быть положительны. Для этого необходимо и достаточно, чтобы 
Получаем следующее неравенство
Способ II. Рассмотрим функцию
Нам требуется найти все такие значения параметра a, что f(x) не обращается в нуль нигде на числовой оси.
Сразу заметим, что f(x) непрерывна на всей оси.
Обозначим и 
Сравним эти числа: 
тогда и только тогда когда 
т. е, 
1) Пусть 
то есть На интервале 
оба модуля раскрываются с минусом и f(x) — линейная функция с угловым коэффициентом −4, следовательно, убывает. На отрезке 
первый модуль раскрывается с минусом, второй — с плюсом, следовательно, f(x) — постоянная функция. На интервале 
функция f(x) — линейная с угловым коэффициентом 6, следовательно, возрастает. Из вышеуказанного следует, что для всех x функция 
Следовательно, для того, чтобы уравнение 
не имело решения, необходимо и достаточно, чтобы 
Имеем
Решением неравенства 
является множество 
Все оно содержится во множестве 
2) Пусть 
то есть 
Тогда на интервале 
оба модуля раскрываются с минусом и f(x) — линейная функция с угловым коэффициентом −4, следовательно, убывает. На отрезке 
первый модуль раскрывается с плюсом, второй — с минусом, следовательно, f(x) — линейная с угловым коэффициентом 4. На интервале 
функция f(x) — линейная с угловым коэффициент ом 6, следовательно, возpacraет на обоих этих промежутках. Тогда 
точка минимума функции и для того, чтобы уравнение не имело решения, необходимо и достаточно, чтобы 
В этом случае
Решением неравенства 
служит интервал (−4; 0). Он имеет пустое пересечение с множеством (0; 3), следовательно, в этом случае ни одно значение a не является решением задачи.
3) Пусть 
то есть 
Заметим, что в этом случае, аналогично случаю 2) точка 
есть точка минимума функции, и, опять же, 
должно быть положительно, что не выполняется при 
и 
Ответ: 
Найдите наименьшее натуральное значение n такое, что при всех x выполняется неравенство
Замечаем, что 
—
то первые k модулей раскрываются со знаком плюс, а остальные 
со знаком минус. Поэтому получаем
Следовательно, если 
на этом участке f(x) убывает, а если 
то f(x) возрастает. А так как функция непрерывная, то минимальное значение будет достигаться в тот момент, когда будет происходить переход с убывания в возрастание. Далее возможны два случая:
1) если 
то переход с убывания в возрастание будет на всем полуинтервале 
Минимальное значение будет равно
2) если 
то переход с убывания в возрастание будет происходить в точке 
Минимальное значение будет равно
В итоге нужно найти такое минимальное натуральное, что
где I — индикаторная функция события.
Ответ: где I — индикаторная функция события.
Найдите сумму действительных корней уравнения
Сделаем замену 
а так как 
то 
Получаем следующее уравнение
Очевидно, что число 
является корнем уравнения и соответствующее ему x1 не действительное. Получаем
Параметр а был подобран таким образом, чтобы оставшиеся два корня t2 и t3 были действительными и строго больше нуля. Но тогда, используя теорему Виета, получаем
Следовательно, 
Ответ:
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
Имеет ровно два различных, действительных корня.
(Р. Алишев)
Решать задачу будем графическим методом. Заменим a на y и нарисуем множество решений уравнения в плоскости Oxy. Исходное уравнение эквивалентно следующей системе
График первого уравнения это парабола с ветвями направленными вверх, а график второго уравнения — парабола повернутая на 90° (см. рис.). Причем при замене 
первая парабола переходит во вторую и наоборот. Следовательно, они симметричны относительно прямой 
а значит две точки пересечения этих парабол лежат на этой прямой.
Перейдем теперь к решению задачи. Так как исходное уравнение должно иметь ровно два различных решения, то пря мая 
должна пересекать обе наши параболы ровно в двух точках. Как видно из рисунка такое возможно только в пяти точках: когда прямая проходит через вершину первой параболы или когда пря мая проходит через одну из точек пересечения парабол. Разберем оба этих случая:
1) прямая проходит через вершину параболы. Вершина имеет координаты
Тогда получаем прямую 
2) прямая проходит через одну из точек пересечения парабол. Точки пересечения находятся из системы
Причем две из них можно найти из условия то есть из уравнения
Поделим многочлен четвертой степени на квадратный и получим
Теперь мы легко можем найти все четыре точки: 
и 
Итак, мы получаем пять возможных значений параметра
Ответ:
Найти все числа a и b, для которых равенство
выполнено при всех значениях переменных x и y.
Подставим в формулу из условия сначала 
и 
получим 
Затем подставим и 
откуда 
Наконец, положив и 
имеем 
Из двух последних равенств получаем 
откуда либо 
либо 
Из первого равенства тогда следует 
или 
Убедимся, что найденные пары a и b удовлетворяют условию задачи. Например, если 
то
Остальные варианты проверяются аналогично.
Ответ: 
или 
всего четыре пары значений.
Если приведён верный ответ с проверкой: 2 балла. Только ответ: 0 баллов. Если отсутствует проверка того, что найденные кандидаты в ответы 
или 
удовлетворяют условию задачи: снимаем 2 балла.
или всего четыре пары значений.Найдите все натуральные a, при которых неравенство
имеет ровно а) 2016 целых решений; б) 2017 целых решений.
Запишем ОДЗ:
Многочлен 6 степени, следовательно, 6 корней. Если 
—
1) Если 
то
То есть при
имеем три решения 
2) Если 
то
решение 
решение
Всего целых решений 
a) 
б) 
Ответ: а) 1009; б) нет таких a.
Найти все значения параметра a, при которых уравнение
имеет единственное решение.
Введём замену 
тогда уравнение примет вид
Уравнение распадается на два квадратных уравнения 
и 
и имеет одно решение, если дискриминант одного из уравнений равен нулю, а второго отрицательный или наоборот, получаем
Уравнение имеет единственное решение при 
или 
Ответ: 
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 15 | Обоснованно получен правильный ответ |
| 12 | При обоснованном решении ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки или при правильном ответе имеются недостатки обоснования |
| 6 | Верно начато решение задачи, получены некоторые промежуточные результаты, дальнейшее решение неверно или отсутствует |
| 0 | Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных условий |
Наверх